Дано:
Трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая разделена точками P1, P2, P3, P4 на 5 равных частей. Через точку P2 проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Прямая пересекает диагонали AC и BD в точках P и Q, а сторону CD в точке R.
Найти:
Отношение PR : QR.
Решение:
1. Обозначим длину боковой стороны AB как h. Разделив ее на 5 равных частей, получаем:
длина каждой части = h / 5.
Тогда:
AP1 = h / 5,
AP2 = 2h / 5,
AP3 = 3h / 5,
AP4 = 4h / 5,
BP4 = h.
2. Поскольку прямая через P2 параллельна основаниям трапеции, по свойству подобия треугольников (параллельные прямые делят пропорционально), отрезки RP и RQ будут пропорциональны расстояниям от точек пересечения до оснований трапеции.
3. Обозначим основание AB как a, а основание CD как b. Так как прямая делит трапецию, то согласно свойству параллельных прямых можно воспользоваться формулой для нахождения пропорций:
PR / QR = (AB - b) / (b - CD).
4. При этом отрезок PR будет равен 2/5 от высоты трапеции, так как P2 находилась на уровне 2h/5, а отрезок QR будет равен 3/5 высоты трапеции, так как он находится ниже уровня P2 до основания CD.
5. Таким образом, у нас есть:
PR = 2h / 5,
QR = 3h / 5.
6. Теперь можем найти отношение PR : QR:
PR : QR = (2h / 5) : (3h / 5) = 2 : 3.
Ответ:
Отношение PR : QR = 2 : 3.