Дано:
Треугольник ABC, медианы BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Через точку B1 проведена прямая, параллельная медиане CC1, которая пересекает сторону AB в точке N.
Найти:
а) Доказать, что AN : NC1 = 1 : 1.
б) Доказать, что BM : MB1 = 2 : 1.
в) Доказать, что третья медиана также проходит через точку M.
Решение:
а) Рассмотрим треугольник ABC и его медиану CC1, которая делит сторону AB на две равные части в точке B1. Поскольку прямая, проходящая через точку B1 параллельна CC1, то отрезок AN будет равен отрезку NC1 из-за свойства параллельных линий и подобия треугольников.
Таким образом, AN = NC1. Следовательно, отношение AN : NC1 = 1 : 1.
б) В треугольнике ABC медиана BB1 делит его на два меньших треугольника, а точка M является центроидом треугольника. По свойству медиан, отношение отрезков BM и MB1 будет 2 : 1, так как центроид делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины до середины противоположной стороны.
Таким образом, BM : MB1 = 2 : 1.
в) Третья медиана AA1 также должна проходить через точку M, поскольку все три медианы треугольника пересекаются именно в центре масс (центроид). Это свойство треугольников подразумевает, что точки пересечения всех трех медиан совпадают в одной точке.
Таким образом, доказали, что третья медиана также проходит через точку M.
Ответ:
а) AN : NC1 = 1 : 1;
б) BM : MB1 = 2 : 1;
в) Третья медиана также проходит через точку M.