Дано:
- Треугольник ABC.
- M - середина отрезка BM (медианы).
- Прямая, проведенная через точку M, параллельна стороне AB и пересекает сторону BC в точке K.
Найти:
В каком отношении точка K делит сторону BC.
Решение:
1. Пусть координаты точек равны:
- B = (x_B, y_B)
- C = (x_C, y_C)
- A = (x_A, y_A)
2. Так как M - середина медианы BM, то его координаты равны:
M = ((x_B + x_A)/2, (y_B + y_A)/2).
3. Поскольку прямая MK параллельна стороне AB, угловой коэффициент прямой MK будет равен угловому коэффициенту AB.
4. Угловой коэффициент AB можно вычислить по формуле:
k_AB = (y_A - y_B) / (x_A - x_B).
5. Уравнение прямой MK, проходящей через точку M с угловым коэффициентом k_AB, можно записать следующим образом:
(y - y_M) = k_AB * (x - x_M).
6. Теперь вырази параметрическое уравнение отрезка BC:
x = x_B + t(x_C - x_B),
y = y_B + t(y_C - y_B),
где t - параметр, принимающий значения от 0 до 1.
7. Для нахождения точки пересечения K необходимо подставить выражения для x и y из уравнения отрезка BC в уравнение прямой MK и решить относительно t.
8. У нас есть два выражения для y:
- y из уравнения MK: y - y_M = k_AB * (x - x_M)
- y из параметрического уравнения BC: y = y_B + t(y_C - y_B)
9. Подставляем y из параметрического уравнения в уравнение MK:
(y_B + t(y_C - y_B)) - y_M = k_AB * (x_B + t(x_C - x_B) - x_M).
10. Решив это уравнение относительно t, мы можем выяснить, какое значение t соответствует точке K на отрезке BC.
11. По теореме о подобии треугольников, если прямая параллельна одной из сторон треугольника, то она делит противоположную сторону в том же отношении, в котором делятся другие стороны треугольника. Поскольку M - середина BM, то прямая MK делит сторону BC в отношении 1 : 1.
Ответ:
Точка K делит сторону BC в отношении 1 : 1.