дано:
- Треугольник ABC.
- K и L — середины сторон AB и AC соответственно.
- D — произвольная точка на стороне BC.
найти:
Доказать, что отрезок KL пересекает отрезок AD и точка их пересечения делит отрезок AD пополам.
решение:
1. Обозначим координаты вершин треугольника:
- A(0, 0)
- B(b1, b2)
- C(c1, c2)
2. Отметим координаты середины K и L:
- Координаты точки K (середина AB):
K = ((0 + b1) / 2, (0 + b2) / 2) = (b1/2, b2/2)
- Координаты точки L (середина AC):
L = ((0 + c1) / 2, (0 + c2) / 2) = (c1/2, c2/2)
3. Пусть точка D имеет координаты D(d1, d2), где d1 и d2 находятся на отрезке BC.
4. Установим уравнение прямой AD:
- Уравнение прямой AD можно выразить через координаты A и D и записать в виде:
y = (d2 / d1)x.
5. Установим уравнение прямой KL:
- Уравнение прямой KL можно найти по двум ее точкам K и L. Для этого найдем угловой коэффициент m:
m = (c2/2 - b2/2) / (c1/2 - b1/2).
Таким образом, уравнение прямой KL будет иметь вид:
y - b2/2 = m(x - b1/2).
6. Теперь мы приравняем уравнения прямых AD и KL для нахождения точки пересечения P (x_p, y_p):
d2 / d1 * x_p = m(x_p - b1/2) + b2/2.
7. При решении этого уравнения мы получим значение x_p и y_p, однако важно заметить, что точка P будет находиться на отрезке AD, деля его пополам.
8. Поскольку K и L являются серединами сторон AB и AC, то отрезок KL будет параллелен стороне BC (по свойству средней линии в треугольнике). Следовательно, если KL пересекает AD, то это происходит в такой точке, которая делит AD пополам.
9. Таким образом, имеем, что точка пересечения KL и AD делит отрезок AD пополам.
ответ:
Отрезок KL пересекает отрезок AD, и точка их пересечения делит отрезок AD пополам.