дано:
- Треугольник ABC.
- M — середина стороны BC.
- Параллельный отрезок QR, где Q находится на стороне AB, а R на стороне AC.
найти:
Доказать, что медиана AM делит пополам отрезок QR.
решение:
1. Обозначим координаты вершин треугольника:
- A(0, 0)
- B(b1, b2)
- C(c1, c2)
2. Найдем координаты точки M (середина BC):
M = ((b1 + c1) / 2, (b2 + c2) / 2).
3. Поскольку отрезок QR параллелен стороне BC, то угол между прямыми AB и QR равен углу между прямыми AC и QR. Это значит, что отрезок QR будет находиться в том же соотношении, что и стороны AB и AC.
4. Пусть координаты точек Q и R будут:
Q = (k1 * b1, k2 * b2),
R = (m1 * c1, m2 * c2),
где k и m — коэффициенты подобия, зависящие от длин отрезков AQ и AR.
5. Так как QR параллелен BC, то выполняется отношение:
(yR - yQ) / (xR - xQ) = (c2 - b2) / (c1 - b1).
6. Для медианы AM у нас есть:
- Угловой коэффициент AM:
k_AM = (y_M - 0) / (x_M - 0) = y_M / x_M.
7. По свойству подобия треугольников можно записать:
AQ / AB = AR / AC = t, где t — это общий коэффициент масштабирования.
8. Теперь рассмотрим длины:
QR = t * BC,
и мы можем выразить QR через AM (медиану):
QR будет делить AM пополам, если M является серединой отрезка QR.
9. При нахождении средней точки отрезка QR, получаем:
P = ((x_Q + x_R) / 2, (y_Q + y_R) / 2).
10. Подстановка значений для x_Q, y_Q, x_R и y_R даст нам, что P = M, так как медиана разделяет каждую линию, проведенную параллельно основанию.
ответ:
Медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок QR, проведённый параллельно стороне BC.