Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC.
- Высота CH, проведенная к гипотенузе AB.
Найти:
Доказать, что треугольники ACH и BCH подобны треугольнику ABC и показать, что при этом выполняется равенство k2/1 + k2/2 = 1, где k1 и k2 – коэффициенты подобия.
Решение:
1. В треугольнике ABC проведена высота CH на гипотенузу AB. Это создаёт два новых треугольника: ACH и BCH.
2. Обозначим углы:
- угол ACB = 90°
- угол ACH = угол A (в треугольнике ABC)
- угол BCH = угол B (в треугольнике ABC)
3. Поскольку CH перпендикулярна AB, то:
- угол AHC = 90°
- угол BHC = 90°
4. Таким образом, можем записать следующие равенства по углам:
- угол ACH = угол A
- угол AHC = угол C
- угол BCH = угол B
- угол BHC = угол C
5. Следовательно, по критерию подобия треугольников (по двум углам) имеем:
- треугольник ACH подобен треугольнику ABC
- треугольник BCH подобен треугольнику ABC
6. Теперь найдем коэффициенты подобия k1 и k2.
7. Пусть k1 - коэффициент подобия треугольника ACH к треугольнику ABC:
k1 = AC / AB.
8. Пусть k2 - коэффициент подобия треугольника BCH к треугольнику ABC:
k2 = BC / AB.
9. Заметьте, что по свойству подобия треугольников длины сторон удовлетворяют пропорции:
AC = k1 * AB,
BC = k2 * AB.
10. По теореме Пифагора в треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
11. Подставляем выражения для AC и BC через k1 и k2:
AB^2 = (k1 * AB)^2 + (k2 * AB)^2.
12. Делим обе стороны на AB^2 (при условии, что AB не равно 0):
1 = k1^2 + k2^2.
13. Также, по свойствам коэффициентов подобия:
k1 + k2 = 1.
14. Теперь можно выразить k1 через k2:
k1 = 1 - k2.
15. Подставляя в равенство 1 = k1^2 + k2^2:
1 = (1 - k2)^2 + k2^2.
16. Раскрываем скобки:
1 = 1 - 2k2 + k2^2 + k2^2,
1 = 1 - 2k2 + 2k2^2.
17. Упрощаем:
0 = -2k2 + 2k2^2,
0 = 2k2(k2 - 1).
18. Из этого уравнения следует, что k2(k2 - 1) = 0, что приводит к k2 = 0 или k2 = 1.
19. Следовательно, если k2 < 1, то k1 > 0 и k2 > 0.
20. На основании вышеизложенного мы можем сказать, что:
k1 + k2 = 1.
Ответ:
Треугольники ACH и BCH подобны треугольнику ABC, причем k1 + k2 = 1.