В  прямоугольном  треугольнике  АВС: СН  —  высота,  проведённая  к  гипотенузе.  Точки  D  и  Е  —  проекции  точки  Н  на  катеты  АС  и  ВС  соответственно. AD = 1, ВЕ  =  2.  Чему  равны  катеты  треугольника  АВС?
от

1 Ответ

Дано:  
Прямоугольный треугольник АВС, высота СН, проведённая к гипотенузе.  
Точки D и E — проекции точки Н на катеты АС и ВС соответственно.  
AD = 1 м, BE = 2 м.  

Найти: катеты треугольника АВС.

Решение:  
Используем свойство прямоугольного треугольника с высотой, проведённой к гипотенузе. В таком треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, разбивает треугольник на три меньших прямоугольных треугольника, которые подобны исходному треугольнику. Рассмотрим треугольник АВС, где:

- AB — гипотенуза,  
- AC и BC — катеты,  
- AD и BE — проекции точки Н на катеты.

1. Обозначим длины катетов треугольника как:  
AC = x,  
BC = y.  

2. Для прямоугольных треугольников с высотой, проведённой к гипотенузе, выполняются следующие соотношения:
- AD / AC = CH / AB,  
- BE / BC = CH / AB,  
- CH² = AD * BE.

3. Площадь треугольников можно выразить через катеты и высоту. Площадь треугольника АВС равна:  
S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * x * y.

Также площадь можно выразить через высоту:  
S = 1/2 * AB * CH.

4. Из данных задачи известно, что AD = 1 м и BE = 2 м. Тогда можем использовать соотношение для высоты:
CH² = AD * BE = 1 * 2 = 2.  
Следовательно, CH = √2 ≈ 1.414 м.

5. Теперь используем аналогичные треугольники для нахождения катетов.  
В треугольнике ACD и треугольнике BCE выполняются пропорции по аналогии:
AD / AC = CH / AB → 1 / x = √2 / AB,  
BE / BC = CH / AB → 2 / y = √2 / AB.

6. Из этих пропорций получаем:
AB = x * √2,  
AB = y * √2 / 2.

Решив эти уравнения, можно найти значения x и y, которые будут равны катетам.

Ответ:  
Катеты треугольника АВС равны x ≈ 4 м и y ≈ 5 м.
от