Дано:
Квадрат ABCD со стороной a. Середины сторон отмечены как M, N, P и Q.
Найти:
Доказать, что четырехугольник MNQP является квадратом.
Решение:
1. Определим координаты вершин квадрата ABCD:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Найдем координаты середины сторон:
M – середина AB: M(a/2, 0).
N – середина BC: N(a, a/2).
P – середина CD: P(a/2, a).
Q – середина DA: Q(0, a/2).
3. Теперь найдем длины сторон четырехугольника MNQP:
- Длина MN:
MN = √((a - a/2)² + (a/2 - 0)²) = √((a/2)² + (a/2)²) = √(a²/4 + a²/4) = √(a²/2) = (a√2)/2.
- Длина NP:
NP = √((a/2 - a)² + (a - a/2)²) = √((-a/2)² + (a/2)²) = √(a²/4 + a²/4) = √(a²/2) = (a√2)/2.
- Длина PQ:
PQ = √((a/2 - 0)² + (a/2 - a)²) = √((a/2)² + (-a/2)²) = √(a²/4 + a²/4) = √(a²/2) = (a√2)/2.
- Длина QM:
QM = √((0 - a/2)² + (0 - a/2)²) = √((-a/2)² + (a/2)²) = √(a²/4 + a²/4) = √(a²/2) = (a√2)/2.
4. Все стороны MN, NP, PQ и QM равны (равны (a√2)/2).
5. Теперь найдем углы четырехугольника MNQP:
- Угол между MN и NP можно найти, используя координаты:
Вектор MN = (a/2 - a, 0 - a/2) = (-a/2, -a/2).
Вектор NP = (a/2 - a, a - a/2) = (-a/2, a/2).
- Используем скалярное произведение для нахождения косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (MN • NP) / (|MN| * |NP|).
- MN • NP = (-a/2)(-a/2) + (-a/2)(a/2) = a²/4 - a²/4 = 0.
- Это означает, что угол между MN и NP равен 90°.
6. Поскольку все стороны равны и все углы равны 90°, четырехугольник MNQP является квадратом.
Ответ:
Четырехугольник MNQP является квадратом.