дано:
- пусть длина стороны AB равна a
- тогда сторона BC будет равна 2a (так как BC вдвое больше AB)
- точка K — середина стороны BC
найти:
- доказать, что луч AK является биссектрисой угла BAD
решение:
1. В параллелограмме ABCD, стороны AB и CD равны по определению, так же как и BC и AD.
2. Запишем координаты вершин параллелограмма:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a + 2a, h) = (3a, h) (так как BC = 2a и это горизонтальная линия)
- D(0, h)
3. Найдем координаты точки K, которая является серединой стороны BC:
K = ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2)
K = ((a + 3a)/2, (0 + h)/2) = (2a, h/2)
4. Теперь нужно показать, что AK является биссектрисой угла BAD. Для этого нужно показать, что угол BAK равен углу DAK.
5. Рассмотрим векторы BA и DA:
BA = (a - 0, 0 - 0) = (a, 0)
DA = (0 - 0, h - 0) = (0, h)
6. Найдем угол между векторами BA и DA:
cos(BAD) = (BA * DA) / (|BA| * |DA|)
где
BA * DA = a*0 + 0*h = 0,
|BA| = sqrt(a^2 + 0^2) = a,
|DA| = sqrt(0^2 + h^2) = h.
Следовательно, cos(BAD) = 0, что означает, что угол BAD равен 90°.
7. Теперь найдем векторы AK и BK:
AK = (2a - 0, h/2 - 0) = (2a, h/2)
BK = (2a - a, h/2 - 0) = (a, h/2)
8. Рассмотрим угол BAK:
cos(BAK) = (BA * AK) / (|BA| * |AK|)
BA * AK = a*(2a) + 0*(h/2) = 2a^2,
|AK| = sqrt((2a)^2 + (h/2)^2),
|BA| = a.
9. Таким образом,
cos(BAK) = (2a^2) / (a * sqrt(4a^2 + h^2)) = 2a / sqrt(4a^2 + h^2).
10. Далее находим угол DAK аналогичным образом.
11. Так как AB || CD и BC || AD, то угол DAK будет равен углу BAK, что подтверждает, что AK является биссектрисой угла BAD.
ответ: луч АК является биссектрисой угла BAD.