дано:
- параллелограмм ABCD, где AB || CD и BC || AD
- биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K, которая лежит на стороне BC
найти:
- доказать, что точка K является серединой стороны BC
решение:
1. Обозначим длины сторон параллелограмма:
- пусть длина стороны AB равна a
- пусть длина стороны BC равна b
2. Введем координаты вершин параллелограмма:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a + b, h) (где h — высота параллелограмма)
- D(b, h)
3. Так как K находится на стороне BC, мы можем записать координаты точки K как K(x, y), где x находится между a и a + b.
4. Рассмотрим треугольники ABK и CDK. По свойству биссектрисы:
- угол BAK = угол KAD
- угол DKC = угол AKB
5. Поскольку K является точкой пересечения биссектрис, то по свойству биссектрис делит противоположные стороны в одинаковом отношении:
AK / KB = AD / DC
6. Известно, что AD = BC (параллелограмм), следовательно:
AK / KB = AB / BC = a / b
7. Делаем аналогично для угла D. Мы имеем:
DK / KC = AD / AB = b / a
8. Учитывая, что K лежит на стороне BC, можно записать:
BK = KC
9. Теперь подставим значение:
AK / BK = a / b и DK / KC = b / a.
10. Устанавливаем пропорциональность:
AK / DK = a / b и BK / KC = b / a
11. Так как K является точкой пересечения биссектрис, то AK / KB = DK / KC также включает равенство:
AK = DK и BK = KC.
12. Это означает, что K делит сторону BC пополам, так как AK = KC и BK = KC.
ответ: точка K является серединой стороны BC.