дано:
периметр трапеции P = 40 м,
большая боковая сторона a = 11 м.
найти:
радиус окружности r.
решение:
Для описанной около окружности трапеции выполняется соотношение:
P = a + b + c + d,
где a и b - основания (большое и малое),
c и d - боковые стороны.
Так как трапеция описана около окружности, то сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
a + b = c + d.
Обозначим:
большую боковую сторону c = 11,
малую боковую сторону d = x,
меньшую сторону b = y.
Тогда имеем систему уравнений:
1) 11 + y = 11 + x,
это упростится до:
y = x.
Также имеем:
11 + y + 11 + x = 40.
Подставляем y = x:
11 + x + 11 + x = 40,
22 + 2x = 40,
2x = 18,
x = 9.
Теперь мы знаем:
d = 9,
b = 9.
Сумма оснований:
a + b = 11 + 9 = 20,
сумма боковых сторон:
c + d = 11 + 9 = 20.
Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
r = S / p,
где S — площадь трапеции, а p — полупериметр.
Полупериметр p = P / 2 = 40 / 2 = 20.
Теперь находим площадь S. Площадь трапеции можно выразить через среднее арифметическое оснований и высоту h:
S = (a + b) * h / 2.
Чтобы найти h, используем следующее соотношение, известное для прямоугольной трапеции:
h = sqrt(c^2 - ((a - b)/2)^2).
Таким образом, сначала найдем h:
h = sqrt(11^2 - ((11 - 9)/2)^2) = sqrt(121 - (2/2)^2) = sqrt(121 - 1) = sqrt(120) = 10.95 (примерно).
Теперь подставим h в формулу для площади:
S = (11 + 9) * 10.95 / 2 = 20 * 10.95 / 2 = 20 * 5.475 = 109.5.
Теперь можем найти радиус r:
r = S / p = 109.5 / 20 = 5.475.
ответ:
радиус окружности r ≈ 5.48 м.