Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 50, её большая боковая сторона равна 15. Найдите высоту трапеции.
от

1 Ответ

дано:  
периметр трапеции P = 50 м,  
большая боковая сторона a = 15 м.

найти:  
высоту трапеции h.

решение:  
Для описанной около окружности прямоугольной трапеции выполняется следующее соотношение:

P = a + b + c + d,  

где a и b - основания (большое и малое),  
c и d - боковые стороны.

Так как трапеция описана около окружности, то сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d.  

Обозначим:  
большую сторону c = 15,  
малую боковую сторону d = x,  
меньшую сторону b = y.  

Тогда можно записать:
1) 15 + y = 15 + x.  
Это упростится до:  
y = x.

Также имеем:  
15 + y + 15 + x = 50.

Подставляем y = x:  
15 + x + 15 + x = 50,  
30 + 2x = 50,  
2x = 20,  
x = 10.  

Теперь мы знаем:  
d = 10,  
b = 10.

Рассмотрим высоту h. Для нахождения высоты трапеции используем формулу для площади S трапеции:

S = (a + b) * h / 2,  

и выражение для площади через боковые стороны:

S = c * h.  

Приравняем эти два выражения:

(a + b) * h / 2 = c * h.

Поскольку h не равно 0, можем сократить на h:

(a + b) / 2 = c.  

Подставляем известные значения:

(15 + 10) / 2 = 15,  
25 / 2 = 15,  
12.5 = 15. Это неверно, значит ищем h с использованием площади через основание и боковые стороны:

S = c * h, c = 15, h = h,

Площадь также можно выразить через прямоугольный треугольник, где одна из сторон противолежащая углу, можно воспользоваться теоремой Пифагора или сходными; из этого находим h = sqrt((c - b)^2 - ((a - b)/2)^2).

Таким образом высота h вычисляется как:

h = sqrt((c - b)^2 - ((a - b)/2)^2) = sqrt((15 - 10)^2 - ((15 - 10)/2)^2) = sqrt(5^2 - 2.5^2) = sqrt(25 - 6.25) = sqrt(18.75) = 4.33 (примерно).

ответ:  
высота трапеции h ≈ 4.33 м.
от