Дано:
- Трапеция ABCD, где AB || CD и угол B тупой.
- Биссектрису угла B обозначим как BK.
- K — середина основания AD.
- M — середина основания BC.
- AB = BC.
Найти:
а) Докажите, что O — середина SK.
б) Найдите отношение KM : BD.
Решение:
а) Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка SK, применим свойства биссектрисы и срединного деления отрезков.
1. Поскольку K — середина AD, мы можем записать:
AK = KD.
2. Рассмотрим треугольник BKC. Поскольку BK является биссектрисой, то выполняется следующее соотношение:
(AB / BC) = (AK / KC).
3. Мы знаем, что AB = BC, следовательно:
(AB / BC) = 1, то есть:
(AK / KC) = 1, что означает, что AK = KC.
4. Таким образом, поскольку K — середина AD, а AK = KC, то K является также серединой отрезка SC, а значит, O, точка пересечения BD и SK, будет являться серединой отрезка SK.
Следовательно, O действительно является серединой отрезка SK.
б) Теперь найдем отношение KM : BD.
1. По свойствам трапеции и её срединной линии, которая соединяет середины боковых сторон, мы имеем:
KM = (AD + BC) / 2.
Так как K является серединой AD и M — серединой BC, имеем:
KM = (AD + BC) / 2 = (AD + AD) / 2 = AD (так как AB = BC).
2. Теперь найдем длину отрезка BD. В прямоугольном треугольнике BDC:
- BD = sqrt(BK^2 + KD^2).
Поскольку K является серединой AD, мы можем сказать, что KD = AD / 2.
3. Также, по теореме Пифагора в треугольнике BKC, можем записать:
BK = BC sin(B) и поэтому:
BD = sqrt((BC sin(B))^2 + (AD/2)^2).
4. Теперь, чтобы найти отношение KM : BD, подставим выражения:
KM : BD = AD : sqrt((BC sin(B))^2 + (AD/2)^2).
Ответ:
а) O является серединой отрезка SK.
б) Отношение KM : BD равно AD : sqrt((BC sin(B))^2 + (AD/2)^2).