Дано:
- Трапеция ABCD, где BC || AD.
- Сторона AB равна меньшему основанию BC.
- Длина диагонали AC равна длине основания AD.
Найти:
- Докажите, что AM — биссектриса угла BАC.
Решение:
1. Обозначим длину стороны BC как a, тогда AB = a по условию задачи.
2. Обозначим длину основания AD как b, тогда AC = b.
3. Прямая BM, параллельная AC, пересекает прямую DC в точке M. По свойству параллельных линий:
- Угол BMA равен углу BAC (по правилам о соотношении углов при параллельных прямых).
4. В треугольнике ACB имеем:
- Углы BAC и ACM являются внутренними углами треугольника ACB.
5. Так как BM || AC, то отрезки AB и BC могут быть выражены через углы BAM и CAM:
- Поскольку AB = a и AC = b, можем записать:
tan(BAM) = AB/AC = a/b.
6. Также для угла CAM:
- tan(CAM) = BC/AC = a/b.
7. Это означает, что углы BAM и CAM равны, поскольку они имеют одинаковое тангенс.
8. Таким образом, AM является биссектрисой угла BAC, так как разделяет угол на два равных угла.
Ответ:
AM является биссектрисой угла BAC.