Дано:
- Прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
- Средняя линия EF, проведенная параллельно основаниям, где E – середина AD, а F – середина BC.
- Точка E выбрана на средней линии EF.
Найти:
- Доказать, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции ABCD.
Решение:
1. Площадь трапеции ABCD можно вычислить по формуле:
S = (a + b) * h / 2,
где a = AD, b = BC, h – высота трапеции.
2. Высота h делит трапецию на верхний треугольник AED и нижний треугольник BEC.
3. Поскольку точки E и F являются серединами отрезков, то длины отрезков AE и ED равны половине высоты h.
4. Рассмотрим площадь треугольника AED:
S_AED = (AD * h1) / 2,
где h1 – высота треугольника AED, которая равна h/2 (высота, опущенная из точки E).
5. Тогда:
S_AED = (a * (h/2)) / 2 = a * h / 4.
6. Теперь найдем площадь треугольника BEC:
S_BEC = (BC * h2) / 2,
где h2 – высота треугольника BEC, также равная h/2.
7. Таким образом:
S_BEC = (b * (h/2)) / 2 = b * h / 4.
8. Сумма площадей треугольников AED и BEC:
S_AED + S_BEC = (a * h / 4) + (b * h / 4)
= (a + b) * h / 4
9. Теперь сравним эту сумму с площадью трапеции:
S = (a + b) * h / 2.
10. Мы видим, что:
S_AED + S_BEC = (a + b) * h / 4 = S / 2.
Ответ:
Сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции ABCD.