Дано:
- Трапеция ABCD, в которую можно вписать окружность.
- Боковые стороны AB и CD.
Найти:
- Доказать, что окружности, построенные на боковых сторонах AB и CD как на диаметрах, касаются друг друга.
Решение:
1. Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
AD + BC = AB + CD.
2. Обозначим:
AB = c,
CD = d,
AD = a,
BC = b.
Тогда справедливо:
a + b = c + d.
3. Построим окружности на боковых сторонах AB и CD, принимая AB и CD за диаметры:
Окружность над AB имеет радиус R1 = c/2,
Окружность над CD имеет радиус R2 = d/2.
4. Центр первой окружности O1 будет находиться в середине отрезка AB, а центра второй окружности O2 будет находиться в середине отрезка CD.
5. Расстояние между центрами окружностей O1 и O2 равно:
d(O1, O2) = h (где h - расстояние между прямыми, содержащими AB и CD).
6. Радиусы окружностей:
R1 = c/2,
R2 = d/2.
7. Для касания окружностей необходимо, чтобы расстояние между их центрами было равно сумме их радиусов:
d(O1, O2) = R1 + R2.
8. Подставим значения радиусов:
h = c/2 + d/2.
9. Из условия вписываемой окружности в трапецию следует, что c + d = a + b. Это означает, что отношения между сторонами сохраняются, и так как a и b являются основаниями, они расположены параллельно.
10. Таким образом, у нас выполняется равенство:
h = (c + d) / 2, что подтверждает, что окружности касаются друг друга.
Ответ:
Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга.