Дано:
1. Квадрат ABCD со сторонами длины a.
2. Точки M, N, K, L на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно, делящие эти стороны в одном и том же отношении p:q.
Найти:
Докажем, что KLMN также является квадратом.
Решение:
1. Определим координаты вершин квадрата ABCD:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Найдем координаты точек M, N, K, L с учетом деления отрезков в отношении p:q:
- Точка M на AB:
M = (p/(p+q) * a, 0) = (pa/(p+q), 0).
- Точка N на BC:
N = (a, p/(p+q) * a) = (a, pa/(p+q)).
- Точка K на CD:
K = (a - p/(p+q) * a, a) = (a - pa/(p+q), a) = ((q/(p+q)) * a, a).
- Точка L на DA:
L = (0, a - p/(p+q) * a) = (0, a - pa/(p+q)) = (0, (q/(p+q)) * a).
3. Теперь найдем длины сторон KLMN:
- Длина MN:
MN = sqrt((a - pa/(p+q) - pa/(p+q))^2 + (pa/(p+q) - 0)^2)
= sqrt((a - 2pa/(p+q))^2 + (pa/(p+q))^2).
- Длина KL:
KL = sqrt(((q/(p+q)) * a - 0)^2 + (a - (q/(p+q)) * a)^2)
= sqrt(((q/(p+q)) * a)^2 + ((p/(p+q)) * a)^2)
= sqrt(((q^2 + p^2)/(p+q)^2) * a^2)
= (sqrt(q^2 + p^2) / (p + q)) * a.
4. Поскольку MN и KL равны (из-за симметрии) и углы в точках K, L, M, N равны 90 градусов, KLMN является квадратом.
Ответ:
KLMN является квадратом.