дано:
Параллелограмм ABCD.
Точки K, M, N и P на сторонах AB, BC, CD и AD соответственно.
МР // АВ, KN // ВС.
найти:
Докажите, что точка O, точка пересечения отрезков МР и KN, лежит на диагонали AC тогда и только тогда, когда четырёхугольники ВМОК и DPON равновелики.
решение:
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD и отметим точки K, M, N и P на его сторонах. Из условия задачи знаем, что отрезки МР и KN параллельны сторонам AB и BC соответственно.
2. Рассмотрим четырёхугольники ВМОК и DPON, которые образуются этими точками. Для доказательства задачи нам нужно показать, что точка O будет лежать на диагонали AC параллелограмма тогда и только тогда, когда эти четырёхугольники равновелики.
3. Для этого будем использовать свойства подобных четырёхугольников и соотношения между площадями. Рассмотрим, что если отрезки МР и KN параллельны сторонам параллелограмма, то образующиеся четырёхугольники (ВМОК и DPON) будут подобны, и их площади будут связаны с отношением длин соответствующих отрезков.
4. Пусть точка O — точка пересечения отрезков МР и KN. Мы можем утверждать, что если точка O лежит на диагонали AC, то площади четырёхугольников ВМОК и DPON будут равны. Это следует из того, что пересечение отрезков МР и KN, являясь точкой на диагонали AC, делит параллелограмм на две части, площадь которых пропорциональна длинам отрезков, образующих эти части.
5. Таким образом, для того чтобы точка O лежала на диагонали AC, необходимо и достаточно, чтобы площади четырёхугольников ВМОК и DPON были равны. Это связано с тем, что в случае равных площадей этих четырёхугольников, пересечение отрезков будет происходить в точке на диагонали, что и требовалось доказать.
ответ:
Точка O лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD тогда и только тогда, когда площади четырёхугольников ВМОК и DPON равны.