Дано:
а) AM = BK = KC = 4.
б) AM = 4, BK = 5, KC = 6.
Найти:
отрезки MB, LC и LA.
Решение:
Для треугольника ABC с вписанной окружностью, отрезки от вершин до точек касания можно выразить через стороны треугольника:
1. Обозначим:
AB = c,
BC = a,
CA = b.
2. Связь между отрезками:
AM = s - a,
BK = s - b,
KC = s - c,
где s - полупериметр треугольника.
а) Так как AM = BK = KC = 4, то:
s - a = 4,
s - b = 4,
s - c = 4.
Из этих уравнений получаем:
a = s - 4,
b = s - 4,
c = s - 4.
Поскольку все стороны равны, треугольник равнобедренный и равносторонний. Найдем s:
s = (a + b + c) / 2 = 3(s - 4) / 2.
Умножим обе стороны на 2:
2s = 3s - 12.
Переносим 2s в правую часть:
s = 12.
Теперь находим отрезки:
LA = s - a = 12 - (s - 4) = 4,
MB = s - b = 12 - (s - 4) = 4,
LC = s - c = 12 - (s - 4) = 4.
Ответ:
LA = 4, MB = 4, LC = 4.
б) Из данных:
AM = 4, BK = 5, KC = 6.
Сначала найдем полупериметр s:
s = (AM + BK + KC + LC + MB + LA) / 2.
Мы знаем:
AM = 4,
BK = 5,
KC = 6.
Обозначим:
LA = x,
LC = y,
MB = z.
Теперь мы имеем следующие уравнения:
s - a = 4,
s - b = 5,
s - c = 6.
Теперь найдем s:
s = (4 + 5 + 6 + x + y + z) / 2.
Сумма AM, BK, KC:
4 + 5 + 6 = 15.
Подставляем:
s = (15 + x + y + z) / 2.
Из предыдущих уравнений:
a = s - 4,
b = s - 5,
c = s - 6.
Находим y, z и x:
x = s - (5 + 6),
y = s - (4 + 6),
z = s - (4 + 5).
Подставляем:
x = s - 11,
y = s - 10,
z = s - 9.
Теперь подставим значение s:
s = (15 + (s - 11) + (s - 10) + (s - 9)) / 2.
Упрощаем:
2s = 15 + 3s - 30.
Переносим 3s в левую часть:
2s - 3s = -15.
s = 15.
Теперь находим отрезки:
LA = s - 5 = 15 - 5 = 10,
MB = s - 6 = 15 - 6 = 9,
LC = s - 4 = 15 - 4 = 11.
Ответ:
LA = 10, MB = 9, LC = 11.