Для решения данной задачи рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD и круги, построенные на его сторонах как на диаметрах. Обозначим длины сторон:
AB = a,
BC = b,
CD = c,
DA = d.
Круги будут иметь радиусы:
R1 = a/2 (для стороны AB),
R2 = b/2 (для стороны BC),
R3 = c/2 (для стороны CD),
R4 = d/2 (для стороны DA).
Необходимо выяснить, покроют ли эти круги весь четырёхугольник ABCD.
Для этого рассмотрим диагонали четырёхугольника AC и BD. Они пересекаются в некоторой точке O.
Рассмотрим расстояния от центра каждого круга до точек пересечения диагоналей и их концов. Цвет окружностей будет определяться радиусами кругов. Если каждую сторону можно охватить соответствующим кругом, то необходимо проверить, достигает ли радиус круга противоположного края стороны.
Можно рассмотреть следующие случаи:
1. Если O находится внутри ABCD, то точки A, B, C и D должны находиться внутри соответствующих кругов. Каждая сторона должна быть охвачена кругом, построенным на этой стороне.
2. Если O находится на границе или за пределами ABCD, необходимо учесть, что окружности могут перекрываться, что также может обеспечить покрытие всей площади.
Проверка:
Для любой стороны, например, AB, будет выполнено следующее:
- Расстояние AO ≤ R1,
- Расстояние BO ≤ R1.
Аналогично для остальных сторон:
- BC: CO ≤ R2, DO ≤ R2
- CD: CO ≤ R3, DO ≤ R3
- DA: AO ≤ R4, BO ≤ R4
Так как радиусы равны половинам соответствующих длин сторон, то при условии, что все углы не превышают 180 градусов, получится, что круги действительно перекрывают все углы и границы quadrilateral ABCD.
Таким образом, круги, построенные на сторонах произвольного четырёхугольника как на диаметрах, всегда покроют весь четырёхугольник.
Ответ: круги покроют весь четырёхугольник.