дано:
- радиус окружности R.
найти:
длину диагонали квадрата d.
решение:
1. Рассмотрим квадрат ABCD, где вершины A и B лежат на окружности радиуса R, а вершины C и D — на касательной к этой окружности.
2. Обозначим сторону квадрата за a. Диагональ квадрата можно выразить через его сторону:
d = a * sqrt(2).
3. Известно, что расстояние от центра окружности O до точки касания (которой является одна из вершин квадрата, например, C) равно радиусу окружности R. Поскольку стороны квадрата перпендикулярны и образуют равные углы, можем использовать прямоугольный треугольник, чтобы выразить сторону квадрата.
4. В прямоугольном треугольнике OAC (где A - точка на окружности, C - вершина квадрата на касательной):
OA = R (радиус), OC = a/2 (половина стороны квадрата).
5. По теореме Пифагора:
OC^2 + OA^2 = AC^2,
(a/2)^2 + R^2 = (d/2)^2.
6. Подставим выражение для d:
(a/2)^2 + R^2 = (a*sqrt(2)/2)^2.
7. Упростим уравнение:
(a^2 / 4) + R^2 = (2a^2 / 4).
R^2 = (2a^2 / 4) - (a^2 / 4)
R^2 = (a^2 / 4).
8. Умножим обе части на 4:
4R^2 = a^2.
9. Таким образом, сторона квадрата:
a = 2R.
10. Подставим значение a в формулу для длины диагонали:
d = a * sqrt(2) = 2R * sqrt(2).
ответ:
Длина диагонали квадрата равна 2R * sqrt(2).