Дано:
Радиус окружности R = 1 м.
Найти:
Сторону квадрата s, две вершины которого лежат на окружности, а две другие — на касательной к ней.
Решение:
1. Обозначим квадрат ABCD, где вершины A и B лежат на окружности, а вершины C и D — на касательной.
2. Вершины A и B делят сторону квадрата на две равные части, и высота от C и D до касательной равна радиусу окружности.
3. Длина отрезка между A и B, проходящего через центр окружности O, равна 2R = 2 м.
4. Обозначим сторону квадрата как s. Поскольку треугольники AOC и BOC являются прямоугольными, можно записать:
OC = R и OA = (s / 2).
5. По теореме Пифагора:
OA^2 + OC^2 = AC^2.
6. Подставим значения:
(s / 2)^2 + 1^2 = (s√2 / 2)^2.
7. Упрощаем:
(s^2 / 4) + 1 = (s^2 / 2).
8. Приведем к общему знаменателю:
s^2 / 4 + 1 = 2s^2 / 4.
9. Упрощаем:
1 = 2s^2 / 4 - s^2 / 4,
1 = (2s^2 - s^2) / 4,
1 = s^2 / 4.
10. Умножим обе стороны на 4:
s^2 = 4.
11. Извлекаем корень:
s = 2.
Ответ:
Сторона квадрата равна 2 м.