дано:
радиус вписанной окружности r = 6 м
длина гипотенузы AB = 29 м
найти:
площадь треугольника ABC
решение:
1. В прямоугольном треугольнике площадь S можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр p:
S = r * p.
2. Полупериметр p равен:
p = (AB + AC + BC) / 2,
где AC и BC - это катеты треугольника.
3. Сначала найдем длины катетов AC и BC. Для этого используем теорему о вписанной окружности:
r = (AC + BC - AB) / 2.
4. Подставим известные значения в формулу для радиуса:
6 = (AC + BC - 29) / 2
=> 12 = AC + BC - 29
=> AC + BC = 41.
5. Теперь у нас есть система уравнений:
AC + BC = 41 (1)
AC^2 + BC^2 = AB^2 = 29^2 = 841 (2).
6. Из первого уравнения выразим BC:
BC = 41 - AC.
7. Подставим значение BC во второе уравнение:
AC^2 + (41 - AC)^2 = 841
=> AC^2 + (1681 - 82AC + AC^2) = 841
=> 2AC^2 - 82AC + 1681 - 841 = 0
=> 2AC^2 - 82AC + 840 = 0
=> AC^2 - 41AC + 420 = 0.
8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-41)^2 - 4 * 1 * 420 = 1681 - 1680 = 1.
9. Находим корни уравнения:
AC = (41 ± sqrt(1)) / 2
=> AC1 = (41 + 1) / 2 = 21,
=> AC2 = (41 - 1) / 2 = 20.
10. Таким образом, длины катетов равны AC = 21 м и BC = 20 м.
11. Теперь вычислим площадь S треугольника:
S = (AC * BC) / 2 = (21 * 20) / 2 = 210 м².
ответ:
Площадь треугольника ABC равна 210 м².