Question

Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно.
а)   Известно, что АС = 48, MN = 40, а площадь треугольника ABC равна 72. Найдите площадь треугольника MBN.
б)   Известно, что ВМ = 14, МА = 9, а площадь треугольника MBN равна 56. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

а) дано:
АС = 48  
MN = 40  
площадь треугольника ABC = 72  

найти:
площадь треугольника MBN

решение:
1. Поскольку MN параллельно AC, то треугольники ABC и MBN подобны (по признаку "параллельные стороны").
   
2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон:
   S_MBN / S_ABC = (MN / AC)^2.

3. Подставим известные значения:
   S_MBN / 72 = (40 / 48)^2.

4. Вычислим отношение:
   (40 / 48) = 5/6,
   (5/6)^2 = 25/36.

5. Теперь подставляем это значение в уравнение:
   S_MBN / 72 = 25/36.

6. Умножим обе стороны на 72:
   S_MBN = 72 * (25/36) = 50.

ответ:
Площадь треугольника MBN равна 50.

б) дано:
BM = 14  
MA = 9  
площадь треугольника MBN = 56  

найти:
площадь треугольника ABC

решение:
1. Сначала найдем длину стороны AB:
   AB = BM + MA = 14 + 9 = 23.

2. Так как треугольники ABC и MBN также подобны, имеем:
   S_MBN / S_ABC = (BM / AB)^2.

3. Подставим известные значения:
   56 / S_ABC = (14 / 23)^2.

4. Вычислим (14 / 23)^2:
   (14 / 23)^2 = 196 / 529.

5. Подставляем в уравнение:
   56 / S_ABC = 196 / 529.

6. Решаем уравнение для S_ABC:
   S_ABC = 56 * (529 / 196).

7. Вычислим:
   S_ABC = 56 * (529 / 196) = 56 * 2.6989795918367347 ≈ 151.11.

ответ:
Площадь треугольника ABC равна примерно 151.11.