дано:
четырехугольник ABCD, точка M — середина диагонали AC.
найти:
доказать, что S(HMC) + S(AMD) = S(ABM) + S(MD), где S обозначает площадь.
решение:
1. Обозначим площади треугольников:
S_1 = S(ABM),
S_2 = S(AMD),
S_3 = S(HMC),
S_4 = S(MD).
2. Поскольку M — середина диагонали AC, то AM = MC.
3. Рассмотрим треугольники ABM и HMC. Они имеют общую сторону AM и основание MB. По правилам площадей треугольников можно написать:
S_1 / S_3 = BM / MH.
4. Теперь рассмотрим треугольники AMD и MD. Они также имеют общую сторону MD и основание AM. Таким образом:
S_2 / S_4 = AM / MD.
5. Из-за того, что M — середина AC, у нас есть равенство:
AM = MC и соответственно:
BM / MH = MD / AM.
6. Это значит, что S_1 / S_3 = S_2 / S_4.
7. Умножая обе части равенства на S_3 * S_4, получаем:
S_1 * S_4 = S_2 * S_3.
8. Сложим эти два равенства:
S_1 + S_2 = S_3 + S_4.
9. Таким образом, мы имеем:
S(HMC) + S(AMD) = S(ABM) + S(MD).
ответ:
Следовательно, сумма площадей треугольников HMC и AMD равна сумме площадей треугольников ABM и MD.