дано:
четырёхугольник ABCD, в который вписана окружность с центром I.
найти:
доказать, что сумма площадей треугольников ABI и CDI равна половине площади четырёхугольника ABCD.
решение:
1. Обозначим площадь четырёхугольника ABCD как S.
2. Площадь треугольника ABI обозначим как S1, а площадь треугольника CDI обозначим как S2.
3. Сумма площадей треугольников ABI и CDI будет равна S1 + S2.
4. Известно, что если окружность вписана в четырёхугольник, то сумма длин противоположных сторон равна:
AB + CD = AD + BC.
5. Обозначим:
a = AB,
b = BC,
c = CD,
d = AD.
6. Тогда можно записать следующее равенство:
a + c = b + d.
7. Площадь четырехугольника ABCD можно выразить через радиус окружности r и полупериметр P:
S = r * P,
где P = (a + b + c + d) / 2.
8. Подставляем значения для полупериметра:
P = (a + b + c + d) / 2.
Поскольку a + c = b + d, мы имеем:
P = (a + b + a + b) / 2 = a + b.
9. Таким образом, можно выразить площадь S как:
S = r * (a + b).
10. Теперь найдем площади треугольников ABI и CDI. Площадь треугольника определяется формулой:
S1 = 0.5 * AB * h1,
S2 = 0.5 * CD * h2,
где h1 и h2 - высоты, проведенные из точки I на стороны AB и CD соответственно.
11. Поскольку I является центром вписанной окружности, высоты h1 и h2 равны радиусу r, поэтому:
S1 = 0.5 * a * r,
S2 = 0.5 * c * r.
12. Сложим площади S1 и S2:
S1 + S2 = 0.5 * a * r + 0.5 * c * r.
S1 + S2 = 0.5 * r * (a + c).
13. Так как a + c = b + d, можем заменить a + c на b + d:
S1 + S2 = 0.5 * r * (b + d).
14. Теперь выразим S через r и P:
S = r * P = r * (a + b) = r * (b + d).
15. Получаем, что:
S = 2 * (S1 + S2).
16. Следовательно, S1 + S2 = S / 2.
ответ:
Сумма площадей треугольников ABI и CDI равна половине площади четырёхугольника ABCD.