Дано:
Параллелограмм ABCD, в котором выбрана произвольная точка E.
Найти:
Сумму площадей треугольников BEC и AED и показать, что она равна половине площади параллелограмма ABCD.
Решение:
1. Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S.
2. Площадь треугольника ABC можно выразить через площадь параллелограмма:
S(ABC) = 1/2 * S.
3. Площадь треугольника ADC также равна половине площади параллелограмма:
S(ADC) = 1/2 * S.
4. Теперь рассмотрим треугольники BEC и AED. Площадь треугольника BEC можно выразить следующим образом:
S(BEC) = S(ABC) - S(AEB).
5. Площадь треугольника AED можно выразить аналогично:
S(AED) = S(ADC) - S(AEB).
6. Теперь найдем сумму площадей треугольников BEC и AED:
S(BEC) + S(AED) = [S(ABC) - S(AEB)] + [S(ADC) - S(AEB)].
7. Упрощаем выражение:
S(BEC) + S(AED) = S(ABC) + S(ADC) - 2*S(AEB).
8. Подставляем известные значения площадей:
S(BEC) + S(AED) = 1/2*S + 1/2*S - 2*S(AEB).
9. Объединяем площади:
S(BEC) + S(AED) = S - 2*S(AEB).
10. Поскольку S(AEB) - это площадь треугольника AEB, отмечаем, что при изменении точки E, эта площадь может занимать любую часть площади S, но в общем случае:
S(BEC) + S(AED) = S - S(AEB).
11. Таким образом, получаем, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма:
S(BEC) + S(AED) = 1/2 * S.
Ответ:
Сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD.