дано:
диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом. ОВ = 5, угол ABC = 90°, угол CDB = 45°.
найти:
площадь треугольника ADO.
решение:
1. Так как углы ABC и CDB известны, определим некоторые углы в фигуре:
- Угол AOB = 90° (так как диагонали пересекаются под прямым углом).
- Угол BOC = 90°.
- Угол COD = 90°.
- Угол DOA = 90°.
2. Известно, что угол CDB = 45°. Следовательно, в треугольнике BCD можно заключить, что угол BDC также равен 45°, так как сумма внутренних углов в треугольнике равна 180°.
3. Обозначим длину отрезка OA как h. Поскольку угол ABC = 90°, то треугольник AOB - это прямоугольный треугольник с катетом OB = 5 и высотой OA = h.
4. Для нахождения площади треугольника AOB используем формулу площади прямоугольного треугольника:
S(AOB) = (1/2) * AB * OB = (1/2) * h * 5.
5. Теперь рассмотрим треугольник BCD. Так как угол CDB = 45°, то треугольник BCD является равнобедренным, и BC = BD.
6. Поскольку AO перпендикулярно BO и угол AOB равен 90°, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника для нахождения длины OA и OB. Зная, что BOD - это также прямоугольный треугольник, у нас есть:
BO = 5,
BD = BO / cos(45°) = 5 / (sqrt(2)/2) = 5 * sqrt(2).
7. Теперь мы можем выразить высоту h:
h = BD * sin(45°) = (5 * sqrt(2)) * (sqrt(2)/2) = 5.
8. Таким образом, площадь треугольника ADO равна:
S(ADO) = (1/2) * AD * AO = (1/2) * 5 * 5 = 12.5.
ответ:
Площадь треугольника ADO составляет 12.5.