дано:
Трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка F такова, что ACDF — параллелограмм. Отрезок BF пересекает основание AD в точке E.
найти:
Показать, что площадь трапеции ABCD вдвое больше площади треугольника FED.
решение:
1. Обозначим высоту трапеции ABCD как h. Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту:
S_ABC = (BC + AD) * h / 2.
2. Параллелограммы имеют равные площади, и ACDF является параллелограммом. Следовательно, площадь ACDF равна площади треугольника ACF плюс площадь треугольника CFD:
S_ACDF = S_AFC + S_CDF.
3. Поскольку треугольники AEF и EDF являются подобными треугольниками (так как AE и DF соответственно параллельны), их площади также пропорциональны.
4. Рассмотрим треугольник FED. Его площадь можно выразить следующим образом:
S_FED = 1/2 * |DE| * h', где h' — высота из точки F на основание DE.
5. Площадь треугольника AEF равна:
S_AEF = 1/2 * |AE| * h_A, где h_A — высота из точки F на основании AE.
6. Поскольку F - вершина параллелограмма ACDF, высота h' будет равной h_A. Также, по свойству параллелограмма, стороны AC и DF равны, следовательно, AE = DE.
7. Учитывая, что площадь трапеции ABCD равна площади двух треугольников AEF и BCD:
S_ABCD = S_AEF + S_BCD = 2 * S_FED.
ответ:
Площадь трапеции ABCD вдвое больше площади треугольника FED.