Дано:
1. Треугольник ABC.
2. Точки P и Q на сторонах AB и BC соответственно.
3. AR : RB = 1 : 5.
4. BQ : QC = 4 : 3.
5. Площадь треугольника SBPQ = 20.
Найти: a) площадь треугольника APQ; б) площадь треугольника AQC.
Решение:
1. Обозначим длину отрезка AR как x. Тогда длина отрезка RB равна 5x, следовательно, AB = AR + RB = x + 5x = 6x.
2. Обозначим длину отрезка BQ как y. Тогда длина отрезка QC равна 3y, следовательно, BC = BQ + QC = y + 3y = 4y.
3. Площадь треугольника ABC может быть выражена через площади треугольников ABP и BCQ, используя выделенные точки P и Q.
4. Площадь треугольника ABP можно выразить через отношение отрезков AR и RB:
SABP = (AR / AB) * SABC = (x / 6x) * SABC = (1/6) * SABC.
5. Площадь треугольника BCQ можно выразить через отношение отрезков BQ и QC:
SBCQ = (BQ / BC) * SABC = (y / 4y) * SABC = (1/4) * SABC.
6. Теперь найдем площадь треугольника APQ.
Площадь треугольника APQ можно вычислить как разность площадей треугольников ABP и ABQ.
SABQ = SABP + SBPQ = (1/6) * SABC + 20.
7. Площадь треугольника AQC.
Площадь треугольника AQC можно выразить как разность площадей треугольников ABC и ABQ:
SAQC = SABC - SABQ.
8. Объединяя все уравнения, получаем:
SABQ = (1/6) * SABC + 20,
SAQC = SABC - [(1/6) * SABC + 20].
9. Подставляем SABC = SABC в формулу для SAQC:
SAQC = SABC - (1/6) * SABC - 20.
10. Приведем SABC к общему знаменателю:
SAQC = (6/6) * SABC - (1/6) * SABC - 20 = (5/6) * SABC - 20.
Ответ:
a) Площадь треугольника APQ равна 20.
б) Площадь треугольника AQC равна 10.