На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника ABC отмечены точки Р, Q и R так, что АР : РВ = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1. Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.
от

1 Ответ

Дано: На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки P, Q и R так, что AR : RB = BQ : QC = CP : PA = 2 : 1.

Найти: Доказать, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

Решение:
Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Тогда AR = 2a, RB = a, BQ = 2a, QC = a, CP = 2a, PA = a.

Теперь рассмотрим треугольник PQR. Из соотношений AR : RB = 2 : 1 и BQ : QC = 2 : 1 следует, что PR || BC и PQ || AC.

Аналогично, из соотношений CP : PA = 2 : 1 и AR : RB = 2 : 1 следует, что QR || AB.

Таким образом, стороны треугольника PQR параллельны сторонам треугольника ABC. Поскольку прямые AB, BC и CA — стороны равностороннего треугольника ABC, то по свойству параллельных прямых стороны треугольника PQR будут перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

Итак, доказано, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.
от