Дано: На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки P, Q и R так, что AR : RB = BQ : QC = CP : PA = 2 : 1.
Найти: Доказать, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.
Решение:
Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Тогда AR = 2a, RB = a, BQ = 2a, QC = a, CP = 2a, PA = a.
Теперь рассмотрим треугольник PQR. Из соотношений AR : RB = 2 : 1 и BQ : QC = 2 : 1 следует, что PR || BC и PQ || AC.
Аналогично, из соотношений CP : PA = 2 : 1 и AR : RB = 2 : 1 следует, что QR || AB.
Таким образом, стороны треугольника PQR параллельны сторонам треугольника ABC. Поскольку прямые AB, BC и CA — стороны равностороннего треугольника ABC, то по свойству параллельных прямых стороны треугольника PQR будут перпендикулярны сторонам треугольника ABC.
Итак, доказано, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.