Дано:
- Треугольник ABC.
- На стороне AB выбрана точка P, так что BP : PA = 1 : 2. Обозначим BP = x, тогда PA = 2x, и AB = 3x.
- На стороне BC выбрана точка Q, так что BQ : QC = 4 : 1. Обозначим BQ = 4y, тогда QC = y, и BC = 5y.
Найти:
а) Отношение площадей треугольников BPQ и ABC.
б) Отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ.
Решение:
а)
1. Площадь треугольника ABC можно выразить следующим образом:
S_ABC = (1/2) * AB * h_C,
где h_C - высота из точки C на сторону AB.
2. Подставим значение AB:
S_ABC = (1/2) * (3x) * h_C = (3/2) * x * h_C.
3. Теперь найдем площадь треугольника BPQ. Для этого используем формулу:
S_BPQ = (1/2) * BP * BQ * h,
где h - высота из точки P на сторону BQ.
4. Подставим значения BP и BQ:
S_BPQ = (1/2) * x * (4y) * h = 2xy * h.
5. Для нахождения отношения площадей используем:
(S_BPQ / S_ABC) = (2xy * h) / ((3/2) * x * h_C).
6. Упростим это выражение:
(S_BPQ / S_ABC) = (4y * h) / (3 * h_C).
7. Предположим, что h = h_C, так как обе высоты могут быть сопоставлены в зависимости от расположения точек. Тогда получаем:
(S_BPQ / S_ABC) = 4y / 3.
8. Так как y = (1/5) * BC = (1/5) * (5y) = y, подставляем:
(S_BPQ / S_ABC) = 4 / 15.
Ответ: Отношение площадей треугольников BPQ и ABC равно 4/15.
б)
1. Площадь треугольника PBQ:
S_PBQ = (1/2) * BQ * PA * h_P = (1/2) * (4y) * (2x).
2. Таким образом:
S_PBQ = 4xy.
3. Площадь четырехугольника ACQP равна:
S_ACQP = S_ABC - S_PBQ.
4. Значит:
S_ACQP = (3/2) * x * h_C - 4xy.
5. Найдём отношение площадей:
(S_ACQP / S_PBQ) = [(3/2) * x * h_C - 4xy] / (4xy).
6. Упрощаем это выражение:
(S_ACQP / S_PBQ) = [(3/2) * (h_C/x) - 4] / 4.
7. Если обозначить h_C через y, то получаем:
(S_ACQP / S_PBQ) = [(3k/2) - 4] / 4.
Ответ: Отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ зависит от h_C и равно (3/2 - 4) / 4.