Дано:
Треугольник ABC.
На стороне BC отмечена точка K, а на отрезке AK отмечена точка L.
а) VK : KC = 2 : 3, AL : LK = 2 : 1.
б) VK : KC = 5 : 3, AL : LK = 11 : 6.
Найти:
Отношение площадей треугольников SALC и SBLK.
Решение:
а)
1. Обозначим длину отрезка BC как BK + KC = 2x + 3x = 5x.
2. Площадь треугольника ABC можно выразить через основание и высоту, проведенную из точки A:
S_ABC = (1/2) * BC * h_A = (1/2) * 5x * h_A.
3. Теперь найдем площади треугольников SALC и SBLK.
4. Площадь треугольника SAKL, используя отношение AL : LK = 2 : 1, будет:
AL = 2y, LK = y, где AK = 3y.
Таким образом, S_AKL = (1/2) * AL * h_AK = (1/2) * 2y * h_A = y * h_A.
5. Точка K делит сторону BC в отношении 2 : 3, поэтому:
S_BCK = (3/5) * S_ABC.
6. Площадь треугольника SBLK можно выразить через S_BCK:
S_BCK = (1/2) * BK * h_BK = (1/2) * 2x * h_BK.
7. Отметим, что h_BK = (3/5) * h_A, так как высота из точки B на сторону AC равна высоте из точки A на сторону BC.
8. Подставим h_BK:
S_BCK = (1/2) * 2x * (3/5) * h_A = (3/5) * x * h_A.
9. Площадь треугольника SBLK равна S_BCK - S_AKL:
S_BLK = (3/5) * S_ABC - y * h_A.
10. Отношение площадей S_ALC : S_BLK = S_AKL / S_BCK = (y * h_A) / ((3/5) * x * h_A).
11. Упрощаем:
Отношение равно 5/3.
Ответ: Для пункта а) отношение SALC : SBLK равно 5 : 3.
б)
1. Аналогично, BK + KC = 5x + 3x = 8x.
2. Площадь треугольника ABC:
S_ABC = (1/2) * BC * h_A = (1/2) * 8x * h_A.
3. По аналогии, S_AKL с AL : LK = 11 : 6, то есть AL = 11z, LK = 6z, тогда AK = 17z.
S_AKL = (1/2) * AL * h_AK = (1/2) * 11z * h_A = (11/2) * z * h_A.
4. Площадь треугольника SBLK можно представить следующим образом:
S_BCK = (3/8) * S_ABC.
5. При этом S_BCK = (3/8) * (1/2) * 8x * h_A = (3/4) * x * h_A.
6. Сравним площади:
S_BLK = S_BCK - S_AKL = (3/4) * x * h_A - (11/2) * z * h_A.
7. Отношение S_ALC : S_BLK = (11/2) * z * h_A / ((3/4) * x * h_A).
8. Упрощаем:
S_ALC : S_BLK = 22z / 3x.
Ответ: Для пункта б) отношение SALC : SBLK равно 22 : 3.