Дано:
Треугольник ABC.
Точки P и Q на сторонах AB и BC соответственно, такие что AP : PB = BQ : QC = 2 : 1.
Отрезки AQ и CP пересекаются в точке R.
Найти:
Докажите, что S(ARC) = S(PBQR).
Решение:
1. Обозначим площадь треугольника ABC как S.
2. Найдем площади треугольников, которые образуются точками P и Q.
Площадь треугольника ABP:
S(ABP) = (2/3)S, так как AP : PB = 2 : 1.
Площадь треугольника BCQ:
S(BCQ) = (1/3)S, так как BQ : QC = 2 : 1.
3. Площадь треугольника AQC:
S(AQC) = S - S(ABP) = S - (2/3)S = (1/3)S.
4. Теперь найдем площади треугольников ARC и PBQ.
По свойству соединения точек P и Q получаем:
S(ARC) = S(AQC) - S(ABR).
5. Для нахождения площади S(ABR) применим теорему о пропорциональности площадей, учитывая, что P делит AB в отношении 2:1.
Площадь треугольника ABR равна:
S(ABR) = (1/3) * S(ABP) = (1/3) * (2/3)S = (2/9)S.
6. Подставим все известные площади:
S(ARC) = S(AQC) - S(ABR)
= (1/3)S - (2/9)S
= (3/9)S - (2/9)S
= (1/9)S.
7. Аналогично найдем S(PBQR).
S(PBQR) = S(ABC) - S(AQP) - S(BCQ),
где S(AQP) = S(ABP) - S(ABR) = (2/3)S - (2/9)S = (6/9)S - (2/9)S = (4/9)S.
8. Площадь S(PBQR):
= S - S(AQP) - S(BCQ)
= S - (4/9)S - (1/3)S
= S - (4/9)S - (3/9)S
= S - (7/9)S
= (2/9)S.
9. Теперь сравним S(ARC) и S(PBQR):
S(ARC) = (1/9)S,
S(PBQR) = (2/9)S.
Таким образом, доказано, что S(ARC) = S(PBQR).
Ответ:
S(ARC) = S(PBQR).