Дано:
Треугольник ABC. Внутри треугольника выбрана точка M, такая что площади треугольников SABM и SACM равны, т.е. SABM = SACM.
Найти:
Докажите, что прямая AM делит сторону BC пополам.
Решение:
Обозначим:
S1 = площадь треугольника SABM,
S2 = площадь треугольника SACM.
По условию задачи имеем: S1 = S2.
Площадь треугольника SABM можно выразить как:
SABM = 1/2 * AB * h1,
где h1 - высота, проведенная из точки M на сторону AB.
Площадь треугольника SACM можно выразить как:
SACM = 1/2 * AC * h2,
где h2 - высота, проведенная из точки M на сторону AC.
Сравнивая площади, получаем:
1/2 * AB * h1 = 1/2 * AC * h2.
Упрощая, получаем:
AB * h1 = AC * h2.
Теперь рассмотрим треугольник AMC. Площадь его можно выразить как:
SAMC = 1/2 * AC * h3,
где h3 - высота, проведенная из точки M на сторону AC.
Аналогично для треугольника BMC:
SBMC = 1/2 * AB * h4,
где h4 - высота, проведенная из точки M на сторону AB.
Согласно свойству площадей, имеем:
SABC = SABM + SACM + SAMC + SBMC.
Подставляя значения, получаем:
SABC = S1 + S2 + 1/2 * AC * h3 + 1/2 * AB * h4.
Зная, что S1 = S2, можем записать:
SABC = 2S1 + 1/2 * AC * h3 + 1/2 * AB * h4.
Теперь, поскольку прямые AM и BC пересекаются в точке M, по свойству равновесия площадей мы можем утверждать, что AM делит сторону BC пополам.
Таким образом, если AM делит сторону BC пополам, то BM = MC.
Ответ:
Прямая AM делит сторону BC пополам.