Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника ABC равна 9, катет ВС равен 3. На гипотенузе выбрана точка М так, что AM : MB = 1:2. Найдите СМ.
от

1 Ответ

Дано:
- Гипотенуза AB = 9
- Катет BC = 3

Найти: CM.

Решение:

1. Найдем длину катета AC с помощью теоремы Пифагора.

   По теореме Пифагора для треугольника ABC имеем:
   
   AB^2 = AC^2 + BC^2.
   
   Подставим известные значения:
   
   9^2 = AC^2 + 3^2.
   
   81 = AC^2 + 9.
   
   AC^2 = 81 - 9.
   
   AC^2 = 72.
   
   AC = √72 = 6√2.

2. Теперь найдем координаты точек A, B и C. Предположим, что:

   A(0, 0),
   B(9, 0) (так как AB = 9),
   C(0, 3) (поскольку BC = 3 и это вертикальный катет).

3. Найдем координаты точки M на гипотенузе AB, используя отношение AM : MB = 1 : 2.

   Обозначим длину AM как x. Тогда MB будет равно 2x.

   Поскольку AM + MB = AB:

   x + 2x = 9,
   
   3x = 9,
   
   x = 3.

   Таким образом, AM = 3 и MB = 6.

   Теперь найдем координаты точки M. Она делит отрезок AB в отношении 1:2, значит:

   M будет находиться на расстоянии AM от A, то есть:

   М = (3, 0).

4. Теперь найдем CM. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками.

   Координаты C(0, 3) и M(3, 0).

   Расстояние CM вычисляется по формуле:

   CM = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
   
   где (x1, y1) = (0, 3) и (x2, y2) = (3, 0).

   Подставим значения:

   CM = √((3 - 0)^2 + (0 - 3)^2),
   
   CM = √(3^2 + (-3)^2),
   
   CM = √(9 + 9),
   
   CM = √18,
   
   CM = 3√2.

Ответ: CM = 3√2.
от