Дано:
Пусть треугольник ABC прямоугольный, где угол C равен 90°. Обозначим угол A как α, а угол B как β. Тогда выполняется следующее соотношение:
α + β = 90°.
На гипотенузе AB выбрана точка K так, что CK = BC. Отрезок CK пересекает биссектрису AL в её середине.
Найти углы треугольника ABC.
Решение:
1. Поскольку CK = BC, это значит, что точки C и K образуют равнобедренный треугольник CBK, где BC = CK, следовательно, угол BKC равен углу CBA (по свойству равнобедренного треугольника). Обозначим его как θ.
2. Известно, что сумма углов треугольника ABC равна 180°:
α + β + 90° = 180°,
α + β = 90°.
3. Теперь рассмотрим биссектрису AL. Пусть точка M — середина отрезка AL. Так как отрезок CK пересекает биссектрису AL в её середине, значит, BM = MA.
4. В равнобедренном треугольнике CBK:
Угол BKC равен углу CAB + угол АCB.
Мы знаем, что угол ACB равен 90° - α.
Теперь рассмотрим угол BKC:
угол BKC = α + (90° - α) / 2 = α + 45° - (α/2) = (α/2) + 45°.
5. Учитывая, что угол BKC также равен углу CBA (θ), получаем уравнение:
θ = (α/2) + 45°.
6. Мы также знаем, что угол CBA равен β. Таким образом, у нас есть:
β = (α/2) + 45°.
7. Подставляя β в первое уравнение:
α + (α/2) + 45° = 90°.
8. Упрощая:
(3α/2) + 45° = 90°,
3α/2 = 45°,
α = 30°.
9. Теперь находим угол β:
β = 90° - α = 90° - 30° = 60°.
10. Итак, углы треугольника ABC:
Угол A = α = 30°,
Угол B = β = 60°,
Угол C = 90°.
Ответ:
Углы треугольника ABC: 30°, 60°, 90°.