Дано: В треугольнике ABC точка О такова, что луч ВО делит пополам углы ABC и АОС.
Найти: Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
Решение:
Пусть углы ABC и АОС равны между собой, то есть ∠ABC = ∠AOS = α.
Так как луч ВО делит угол ABC пополам, то получаем, что угол OBC = α/2.
Аналогично, так как луч ВО делит угол АОС пополам, то получаем, что угол AOC = 2α.
В треугольнике AOB угол AOB = углу BAO + углу ABO = (180°-α)/2 + (180°-α)/2 = 90° - α/2.
Таким образом, углы AOB и OBC равны, то есть ∠AOB = ∠OBC.
Из равенства углов следует, что стороны AB = AC.
Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
Ответ: Доказано, что если луч ВО делит пополам углы ABC и АОС, то треугольник ABC равнобедренный.