Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка M на стороне AC.
- Луч BM делит углы ABC и AMC пополам.
Найти:
- Докажите, что луч BM перпендикулярен AC.
Решение:
1. Обозначим углы:
- ∠ABC = 2α (угол, который делится BM)
- ∠AMC = 2β (угол, который делится BM)
2. Поскольку BM является биссектрисой угла ABC, то:
- ∠ABM = α
- ∠CBM = α
3. Поскольку BM также является биссектрисой угла AMC, то:
- ∠AMB = β
- ∠CMB = β
4. Рассмотрим сумму углов в треугольнике AMC:
∠AMC = ∠AMB + ∠BMC + ∠CMB
Мы знаем, что:
∠AMC = 2β (по условию)
5. Поскольку BM является биссектрисой углов ∠ABC и ∠AMC, она образует равные углы с обеих сторон. Следовательно, угол между BM и AC будет равен углу между BM и прямой, перпендикулярной AC.
6. Поскольку BM делит ∠ABC и ∠AMC пополам, это означает, что:
- ∠ABM = α
- ∠CBM = α
- ∠AMB = β
- ∠CMB = β
7. Теперь, мы используем тот факт, что в треугольнике ABC:
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
С учетом равенства углов:
∠AMB = 90° - ∠BCA
8. Поэтому угол между BM и AC в точке M также будет равен 90°, что доказывает, что BM перпендикулярен AC.
Ответ:
Луч BM перпендикулярен AC.