Дано:
- В треугольнике ABC точка O такова, что луч BO делит углы ABC и AOC пополам.
Найти:
Докажите, что прямые BO и AC перпендикулярны.
Решение:
1. Поскольку луч BO делит угол ABC пополам, можно записать, что ∠ABO = ∠OBC.
2. Также, по условию, луч BO делит угол AOC пополам. Следовательно, ∠AOB = ∠BOC.
3. Рассмотрим треугольник ABC и точку O на нем. Проведем следующие углы:
- ∠AOB = x (угол при вершине O),
- ∠BOC = x (так как ∠AOB = ∠BOC по условию),
- ∠ABC = 2y (так как ∠ABO = ∠OBC = y, и ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC).
4. Рассмотрим сумму углов в треугольнике ABC:
- Углы в треугольнике ABC в сумме равны 180°.
5. Поскольку ∠AOB = ∠BOC, мы можем выразить углы при точке O как ∠AOB и ∠BOC.
6. Углы при точке O и в треугольнике ABC должны учитывать углы, создаваемые прямыми BO и AC. Для этого воспользуемся тем, что ∠AOB + ∠BOC = 180° (так как они образуют прямую).
7. Поскольку ∠AOB = ∠BOC, мы можем записать:
∠AOB + ∠BOC = 180°,
2 ∠AOB = 180°,
∠AOB = 90°.
8. Это означает, что угол между прямыми BO и AC равен 90°, и, следовательно, прямые BO и AC перпендикулярны.
Ответ:
Прямые BO и AC перпендикулярны.