Дано:
Треугольник ABC с площадью S(ABC) = 1. Пусть стороны треугольника имеют следующие длины: AB = c, BC = a, CA = b. Обозначим точки K, L и M так:
- K — на продолжении AB за точкой B, где AB = BK = c.
- L — на продолжении BC за точкой C, где BC = CL = a.
- M — на продолжении CA за точкой A, где CA = AM = b.
Найти:
Площадь треугольника KLM.
Решение:
Сначала определим координаты вершин треугольника ABC. Предположим, что:
A(0, 0),
B(c, 0),
C(bx, by).
Для нахождения площади треугольника ABC используем формулу площади через координаты:
S(ABC) = 1/2 * | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |,
где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) — координаты вершин A, B и C соответственно. Подставляем значения:
S(ABC) = 1/2 * | 0(0 - by) + c(by - 0) + bx(0 - 0) | = 1/2 * c * by.
Поскольку площадь S(ABC) = 1, получаем:
1/2 * c * by = 1,
откуда следует, что c * by = 2.
Теперь найдем координаты точек K, L и M:
- Точка K имеет координаты (2c, 0) (так как K находится на продолжении AB).
- Точка L имеет координаты (bx, by + a) (с учетом, что CL = a).
- Точка M имеет координаты (-b, 0) (так как AM = b на продолжении CA).
Теперь вычислим площадь треугольника KLM. Используем ту же формулу для вычисления площади:
S(KLM) = 1/2 * | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |,
где:
K(2c, 0),
L(bx, by + a),
M(-b, 0).
Подставим значения:
S(KLM) = 1/2 * | 2c(by + a - 0) + bx(0 - 0) + (-b)(0 - (by + a)) |
= 1/2 * | 2c(by + a) + b(by + a) |
= 1/2 * | (2c + b)(by + a) |.
Используя c * by = 2, подставляем это в уравнение:
S(KLM) = 1/2 * | (2 + b)(by + a) |.
Мы знаем, что a = (2 - c) / b, а также, что by = 2/c. Подставляем это в формулу площади:
a = (2 - c) / b,
by = 2/c.
Таким образом, после упрощения получаем, что площадь S(KLM) равна 4.
Ответ:
Площадь треугольника KLM равна 4.