дано:
Периметр трапеции P = 80,
Площадь трапеции S = 320.
найти:
Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
решение:
1. Обозначим большие и малые основания трапеции как a и b соответственно (где a > b), а боковые стороны как c. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: c1 = c2 = c.
2. Периметр трапеции можно записать в виде:
P = a + b + 2c = 80.
3. Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту h:
S = (a + b) * h / 2 = 320.
4. Из второго уравнения выразим h:
h = (640) / (a + b).
5. Теперь у нас есть два уравнения:
1) a + b + 2c = 80
2) h = 640 / (a + b)
6. Заметим, что для вписываемой окружности выполняется условие:
a + b = 2c.
7. Подставляем a + b из условия вписываемой окружности в первое уравнение:
2c + 2c = 80,
4c = 80,
c = 20.
8. Теперь можем найти a + b:
a + b = 2c = 40.
9. Подставим значение a + b в формулу для высоты h:
h = 640 / 40 = 16.
10. Теперь найдем расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Это расстояние составляет половину высоты трапеции, так как точки пересечения диагоналей делят каждую диагональ в отношении оснований.
11. Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно:
d = h / 2 = 16 / 2 = 8.
ответ:
Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 8.