Question

Окружности радиусов  5 и 9 с центрами О1 и О2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке К, а большую - в  точке М. Найдите площадь треугольника КМО1, если ∠LМО2 = 15°.

Answer 1

дано:  
Радиус меньшей окружности r1 = 5,  
Радиус большей окружности r2 = 9,  
Угол ∠LМО2 = 15°.

найти:  
Площадь треугольника KMO1.

решение:

1. Сначала определим расстояние O1O2 между центрами окружностей. Поскольку окружности касаются, это расстояние равно сумме их радиусов:
   O1O2 = r1 + r2 = 5 + 9 = 14.

2. Рассмотрим треугольник O1LMO2. Углы в нем известны:
   - ∠O1LM = 90° (радиусы O1K и O1L перпендикулярны касательной),
   - ∠O2LM = 90° (радиусы O2M и O2L также перпендикулярны касательной).

3. Известно, что угол ∠LМО2 = 15°. Поскольку M и K находятся на разных окружностях, можно использовать закон синусов для нахождения длины отрезка KM.

4. Применим тригонометрию для нахождения длины KM. В треугольнике O2LM (по отношению к углу LMO2):
   KM = KM2 * sin(15°), где KM2 - это длина отрезка LM.

5. Длина LM равна радиусу большей окружности:
   LM = r2 = 9.

6. Таким образом, длина KM будет равна:
   KM = 9 * sin(15°).

7. Теперь найдем площадь треугольника KMO1. Площадь треугольника можно выразить как:
   S = 0.5 * основание * высота.

8. В данном случае основание O1M = 9, а высота KM = KM, которую мы только что нашли.

9. Подставляем значения для расчета площади:
   S = 0.5 * O1M * KM = 0.5 * 9 * (9 * sin(15°)).

10. Упрощаем:
    S = 40.5 * sin(15°).

ответ:  
Площадь треугольника KMO1 равна 40.5 * sin(15°).