Дано:
Треугольник ABC с углами A, B и C. Необходимо выяснить, существует ли такой треугольник, для которого выполняется равенство: sin A + sin B = sin C.
Найти:
Существование треугольника ABC, удовлетворяющего данному равенству.
Решение:
1. Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:
A + B + C = 180 градусов.
2. Из этого равенства можно выразить угол C:
C = 180 градусов - A - B.
3. Подставим это значение в исходное равенство:
sin A + sin B = sin(180 градусов - A - B).
4. Используя свойство синуса, sin(180 градусов - x) = sin x, получаем:
sin A + sin B = sin(A + B).
5. Теперь применим формулу синуса суммы углов:
sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B.
6. Получаем уравнение:
sin A + sin B = sin A * cos B + cos A * sin B.
7. Переносим все элементы на одну сторону:
sin A + sin B - sin A * cos B - cos A * sin B = 0.
8. Группируем слагаемые:
sin A (1 - cos B) + sin B (1 - cos A) = 0.
9. Для того чтобы данное равенство выполнялось, необходимо, чтобы хотя бы одно из слагаемых было равно нулю:
a) sin A = 0
b) sin B = 0
c) 1 - cos A = 0 или 1 - cos B = 0.
10. Рассмотрим случай, когда sin A = 0. Это возможно только если A = 0, что не соответствует углу треугольника.
11. Аналогично, если sin B = 0, то B = 0. Оба случая невозможны в рамках треугольника.
12. Рассмотрим 1 - cos A = 0. Это означает, что cos A = 1, следовательно, A = 0.
13. Аналогично, 1 - cos B = 0 означает, что B = 0.
14. Таким образом, для всех случаев, где sin A + sin B = sin C, мы приходим к тому, что один из углов равен 0, что недопустимо для треугольника.
Ответ:
Треугольника ABC, для которого выполняется равенство sin A + sin B = sin C, не существует.