Дано:
- Четырёхугольник ABCD.
- Точка M на стороне AD.
- Отрезок CM пересекает диагональ BD в точке K.
- СК : КМ = 2 : 1.
- CD : DK = 5 : 3.
- Углы ABD и ACD в сумме равны 180°.
Найти:
Отношение отрезков AB и AC.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Сначала обозначим СК = 2x, тогда КМ = x (из соотношения СК : КМ = 2 : 1).
- Следовательно, CM = СК + КМ = 2x + x = 3x.
2. Теперь рассмотрим отрезок CD и его деление:
- Обозначим DK = 3y, тогда CD = 5y (из соотношения CD : DK = 5 : 3).
- Таким образом, при этом CD = DK + KC = 3y + KC.
3. Мы можем выразить KC через y. Известно, что отрезок KD составляет 3y, поэтому:
- KC = 5y - 3y = 2y.
4. Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. Поскольку сумма углов ABD и ACD равна 180°, мы можем использовать теорему о пропорциональности отрезков.
Из подобия треугольников получаем следующую пропорцию по отношению к отрезкам:
- AB / AC = DK / KC.
5. Подставляем выражения для DK и KC:
- DK = 3y и KC = 2y.
6. Таким образом, получаем:
AB / AC = DK / KC = 3y / 2y = 3 / 2.
Ответ:
Отношение отрезков AB и AC равно 3 : 2.