Дано:
- AC = 17 (сторона в СИ)
- угол A = 20°
- угол B = 40°
Найти:
Радиус окружности, описанной около треугольника AIC, где I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.
Решение:
1. Находим угол C:
Угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 20° - 40° = 120°.
2. Находим длины сторон AB и BC с помощью теоремы синусов:
Согласно теореме синусов, a/sinA = b/sinB = c/sinC.
Обозначим:
- AC = b = 17
- AB = c
- BC = a
Из этого уравнения получаем:
c/sinA = b/sinB,
c/sin(20°) = 17/sin(40°).
Отсюда:
c = 17 * (sin(20°)/sin(40°)).
Также:
a/sinC = b/sinB,
a/sin(120°) = 17/sin(40°).
Отсюда:
a = 17 * (sin(120°)/sin(40°)).
Теперь подставляем значения:
sin(20°) ≈ 0.342,
sin(40°) ≈ 0.643,
sin(120°) = sin(60°) ≈ 0.866.
Тогда:
c = 17 * (0.342/0.643) ≈ 9.
a = 17 * (0.866/0.643) ≈ 23.
3. Находим радиус окружности, описанной около треугольника AIC.
Используем формулу для радиуса описанной окружности R:
R = (abc)/(4K),
где K — площадь треугольника ABC. Площадь K можно найти, используя формулу:
K = 0.5 * AC * BC * sin(120°).
Теперь подставим известные значения:
K = 0.5 * 17 * 23 * 0.866 ≈ 16.5.
Теперь подставим a, b, c в формулу для R:
R = (17 * 23 * 9)/(4 * 16.5).
Считаем:
R = (3519)/(66) ≈ 53.3.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника AIC, равен примерно 53.3.