Дано:
ABCD - равнобедренная трапеция
AD = 9
BC = 21
h = 8 - высота трапеции
Найти:
а) cos∠BAD б) R - радиус описанной окружности
Решение:
а) Нахождение cos∠BAD:
Проведем высоты трапеции:
Из вершин B и C опустим высоты BE и CF на сторону AD.
AE = DF = (AD - BC)/2 = (9 - 21)/2 = -6
Т.к. AE отрицательно, значит точка E лежит левее точки A, а точка F - правее точки D.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:
AB - гипотенуза, BE = h = 8, AE = 6.
cos∠BAD = cos∠ABE = BE/AB = 8/AB
Найдем AB:
AB² = BE² + AE² = 8² + 6² = 100
AB = 10
Получаем cos∠BAD:
cos∠BAD = 8/AB = 8/10 = 4/5
б) Нахождение радиуса описанной окружности:
Найдем диагонали трапеции:
AC = BD (диагонали равнобедренной трапеции равны)
Используем теорему Пифагора для треугольника ABD:
BD² = AB² + AD² = 10² + 9² = 181
BD = √181
AC = BD = √181
Найдем площадь трапеции:
S = (AD + BC)/2 * h = (9 + 21)/2 * 8 = 120
Найдем радиус описанной окружности:
R = (AC * BD * AD * BC) / (4 * S) = (√181 * √181 * 9 * 21) / (4 * 120) = 3429/480 = 1143/160
Ответ:
а) cos∠BAD = 4/5 б) R = 1143/160