Дано:
ABCD - выпуклый четырёхугольник
AD = 2
∠ABD = ∠ACD = 90°
O1 - центр вписанной окружности в треугольнике ABD
O2 - центр вписанной окружности в треугольнике ACD
O1O2 = √2
Найти:
BC
Решение:
Рассмотрим треугольники ABD и ACD:
∠ABD = ∠ACD = 90° (по условию).
О1 и O2 - центры вписанных окружностей.
Найдем радиусы вписанных окружностей:
r1 (радиус вписанной окружности в треугольнике ABD) = S(ABD) / p(ABD)
r2 (радиус вписанной окружности в треугольнике ACD) = S(ACD) / p(ACD)
где S(ABD) и S(ACD) - площади треугольников, а p(ABD) и p(ACD) - их полупериметры.
Найдем площади треугольников:
S(ABD) = (1/2) * AB * AD = (1/2) * AB * 2 = AB
S(ACD) = (1/2) * AC * AD = (1/2) * AC * 2 = AC
Найдем полупериметры треугольников:
p(ABD) = (AB + AD + BD)/2 = (AB + 2 + BD)/2
p(ACD) = (AC + AD + CD)/2 = (AC + 2 + CD)/2
Выразим r1 и r2:
r1 = AB / ((AB + 2 + BD)/2) = 2AB / (AB + 2 + BD)
r2 = AC / ((AC + 2 + CD)/2) = 2AC / (AC + 2 + CD)
Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2D:
∠O1DO2 = 90° (по свойству вписанной окружности, радиус перпендикулярен касательной)
O1D = r1, O2D = r2
O1O2 = √2 (по условию)
Используем теорему Пифагора для треугольника O1O2D:
O1O2² = O1D² + O2D²
2 = r1² + r2²
Подставляем выражения для r1 и r2:
2 = (4AB² / (AB + 2 + BD)²) + (4AC² / (AC + 2 + CD)²)
Заметим, что AB² + AC² = BC² (по теореме Пифагора для треугольника ABC)
2 = (4BC² / ((AB + 2 + BD)(AC + 2 + CD)))
BC² = ((AB + 2 + BD)(AC + 2 + CD))/2
Заметим, что BD = AB, CD = AC (по свойству вписанной окружности)
BC² = ((2AB + 2)(2AC + 2))/2 = 2(AB + 1)(AC + 1)
Используя уравнение из пункта 7, выведем отношение AB/AC:
2 = (4AB² / (2AB + 2)²) + (4AC² / (2AC + 2)²)
2 = (AB² / (AB + 1)²) + (AC² / (AC + 1)²)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
2(AB + 1)²(AC + 1)² = AB²(AC + 1)² + AC²(AB + 1)²
2(AB²AC² + 2AB²AC + AB² + 2ABAC² + 4ABAC + 2AC² + 2AB + 2AC + 1) = AB²AC² + 2AB²AC + AB² + AB²AC² + 2ABAC² + AC²
AB² + 4ABAC + 2AC² + 2AB + 2AC + 1 = 0
(AB + 1)² + 2AC(AB + 1) + AC² = 0
(AB + 1 + AC)² = 0
AB + 1 + AC = 0
AB/AC = -1 - AC/AB
AB/AC = -1 - 1 = -2 (так как AC = 2, AB = 2, из пункта 9)
Подставим значение AB/AC в уравнение для BC²:
BC² = 2(AB + 1)(AC + 1) = 2 * (2 + 1)(2 + 1) = 18
BC = √18 = 3√2
Ответ:
BC = 3√2