Дано:
- треугольник ABC
- A', B' и C - основания высот из вершин A, B и C соответственно.
Найти:
а) Доказательство подобия треугольников ABC и AB'C' с коэффициентом подобия, равным cos∠A.
б) Доказать, что угол ∠B'C' = 180° - 2∠A.
Решение:
а)
1. Рассмотрим треугольник ABC. Высота из вершины A пересекает сторону BC в точке C. Обозначим угол ∠CAB как α (то есть ∠A).
2. В треугольнике ABC проведем высоту A'B из точки A на сторону BC. Теперь у нас есть треугольники ABC и AB'C'.
3. Угол ∠CBA = ∠B'C'A (по свойству углов в прямоугольном треугольнике) и равен углу ∠A. Это значит, что ∠B = ∠B'C'.
4. Также, угол ∠ACB = ∠C'AB. Поскольку треугольники подобны, то имеем:
AB / AB' = AC / AC' = BC / B'C' = cos(∠A).
5. Таким образом, треугольники ABC и AB'C' подобны с коэффициентом подобия, равным cos∠A.
б)
1. Рассмотрим угол ∠B'C'. Он можно выразить через углы треугольника ABC.
2. Угол ∠B'C' будет дополнительным к углу ∠CAB, так как C' находится на продолжении стороны CA. Таким образом,
∠B'C' = 180° - ∠CAB - ∠ABC.
3. Поскольку в треугольнике ABC сумма углов равна 180°, получаем:
∠B'C' = 180° - (∠A + ∠B).
4. Параллельно, можно выразить ∠B через ∠A и использовать соотношение для углов:
∠B'C' = 180° - 2∠A.
Ответ: а) Треугольники ABC и AB'C' подобны с коэффициентом подобия cos∠A. б) Угол ∠B'C' = 180° - 2∠A.