Дано:
A(3; 4), B(8; 6), C(3; 8), D(-2; 6).
Найти:
а) cos ∠АВC; б) cos ∠ВСD; в) cos ∠АСD.
Решение:
а) cos ∠АВC:
Найдем координаты векторов AB и BC: AB = (8 - 3; 6 - 4) = (5; 2) BC = (3 - 8; 8 - 6) = (-5; 2)
Найдем скалярное произведение векторов AB и BC: AB * BC = (5 * -5) + (2 * 2) = -21
Найдем модули векторов AB и BC: |AB| = √(5² + 2²) = √29 |BC| = √((-5)² + 2²) = √29
Найдем косинус угла между векторами AB и BC: cos ∠АВC = (AB * BC) / (|AB| * |BC|) = -21 / (√29 * √29) = -21 / 29
б) cos ∠ВСD:
Найдем координаты векторов BC и CD: BC = (-5; 2) CD = (-2 - 3; 6 - 8) = (-5; -2)
Найдем скалярное произведение векторов BC и CD: BC * CD = (-5 * -5) + (2 * -2) = 21
Найдем модули векторов BC и CD: |BC| = √29 |CD| = √((-5)² + (-2)²) = √29
Найдем косинус угла между векторами BC и CD: cos ∠ВСD = (BC * CD) / (|BC| * |CD|) = 21 / (√29 * √29) = 21 / 29
в) cos ∠АСD:
Найдем координаты векторов AC и BD: AC = (3 - 3; 8 - 4) = (0; 4) BD = (-2 - 8; 6 - 6) = (-10; 0)
Найдем скалярное произведение векторов AC и BD: AC * BD = (0 * -10) + (4 * 0) = 0
Найдем модули векторов AC и BD: |AC| = √(0² + 4²) = 4 |BD| = √((-10)² + 0²) = 10
Найдем косинус угла между векторами AC и BD: cos ∠АСD = (AC * BD) / (|AC| * |BD|) = 0 / (4 * 10) = 0
Ответ:
а) cos ∠АВC = -21/29; б) cos ∠ВСD = 21/29; в) cos ∠АСD = 0.